نظریه اصل موضوعی مجموعهها در حقیقت تلاشی برای صوری کردن نظریه مجموعهها بهوسیله قرار دادن اصول موضوع بجای دیدگاههای شهودی برای مجموعهها است. این نظریه نقطه مقابل نظریه طبیعی مجموعهها یا همان نظریه شهودی مجموعهها است که در آن مجموعهها به صورت شهودی و غیر صوری مورد بررسی قرار میگرفتند.




نیاز به اصول موضوع


نظریه مجموعهها بهوسیله جرج کانتور در سال 1873 متولد شد. این نظریه در ابتدا به صورت شهودی و غیر صوری گسترش یافت اما با گسترش هر چه بیشتر آن این سوال اساسی پیش آمد که مجموعه چیست؟ چه چیز را میتوان به عنوان مجموعه در نظر گرفت؟ چه اعمالی را میتوان با مجموعهها انجام داد و در این بین چه محدودیتهایی وجود دارد؟

نظریه مجموعهها به عنوان
مبانی و اساس ریاضیات تلقی میشد به گونهای که همه مفاهیم ریاضی اعم از اعداد، توابع و سایر موجودات ریاضی بر اساس مجموعهها تعریف شدند. این رهیافت موجب آرامش خاطر فیلسوفان و ریاضیدانان در مورد اینکه ماهیت مفاهیم و موجودات ریاضی چیست شد. اما از طرفی این امر که مفاهیم ریاضی را برپایه یک نظریه شهودی بنا کنیم چندان هم خوشایند به نظر نمیرسید. لذا نیاز به اصل موضوعی کردن نظریه مجموعهها و تدقیق آن بیش از هر زمانی احساس شد.
از طرفی با ادامه مطالعه مجموعهها به صورت طبیعی کشف پارادکسهایی چون
پارادکس راسل، پایههای نظریه طبیعی مجموعهها را به لرزه در آورد و نشان داد که نظریه مجموعههایی که تا آن زمان مورد استفاده قرار میگیرفت نظریهای ناسازگار است ولذا نیاز به بازنگری دارد.

نظریه طبیعی مجموعهها
نظریهای ناسازگار
در نظریه طبیعی مجموعهها، اصولی وجود داشت که البته نه به عنوان اصول موضوع بلکه به عنوان واقعیتهای شهودی و طبیعی از ماهیت مجموعه پذیرفته شده بودند.
اولین واقعیت پذیرفته شده، اصل گسترش بود که بیان میداشت هر مجموعه بهوسیله اعضای خود دقیقاً مشخص میشود و یا به عبارتی دیگر دو مجموعه با هم برابرند اگر و تنها اگر اعضایشان یکسان باشد.
دومین واقعیت، اصل شهودی تجرید است که بیان میکرد برای هر خاصیت(گزاره نما) (P(x، مجموعهای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری میشود که در (P(x صدق میکنند. این خاصیت به نظر طبیعی میرسد. به عنوان مثال با در نظر گرفتن مجموعه اعداد صحیح ممکن است بخواهیم مجموعه همه اعداد صحیح که مضرب عدد سه هستند را در نظر بگیریم.
در سال ۱۹۰۲،
برتراند راسل، با ارائه پارادکس معروف خود، پارادکس راسل، نشان داد که نظریه طبیعی مجموعهها
راسل با استفاده از اصل شهودی تجرید مجموعه {A عضو خود نباشد:R={A یعنی مجموعه همه مجموعههایی را که عضو خود نمیباشند را تشکیل داد. حال پارادکس با طرح این سوال که آیا R∈R آغاز میشود.
به این ترتیب، تمام امیدها به نظریه طبیعی مجموعهها از بین رفت و نیاز به اصل موضوعی کردن نظریه مجموعهها و ارائه یک نظریه سازگار به عنوان یک امر ضروری تبدیل شد.
با در نظر اصل شهودی تجرید ناسازگار است و منجر به تناقض میشود.
  • تمامی عوامل یاد شده موجب شدند ریاضیدانان در مسیر تدقیق و نظریه مجموعهها و ارایه نظریه اصل موضوعی و سازگار از مجموعهها کوشش کنند و به این ترتیب نظریههای متعددی در این زمینه ارائه شد.
  • تاریخچه و سیر تحولات

در این قسمت بیشتر به بررسی تاریخچه نظریه اصل موضوعی مجموعهها پرداخته شدهاست. برای مطالعه بیشتر به نظریه مجموعهها مراجعه کنید.
نظریه مجموعهها در اواخر سال ۱۸۷۳، توسط جرج کانتور رسماً بوجود آمد و شروع به توسعه کرد. او در طی مقالات خود مجموعهها را معرفی کرد و مفاهیمی چون اعداد اصلی، اعداد ترتیبی، اعداد ترامتناهی را معرفی کرد و آنها را گسترش داد.
سالهای ۱۸۹۵ تا ۱۸۹۷ سالهای مهم و سرنوشت سازی برای کانتور و نظریه مجموعههایش بشمار میرود. گسترش نظریه مجموعههای کانتور بر پایه دید شهودی از مجموعهها و بدور از هر گونه اصول موضوع تعریف شده و خاص بود و کارهای او بر روی نظریه مجموعهها ادامه داشت نا اینکه در سال ۱۸۹۷ اولین رخنه در نظریه او کشف شد.
در سال ۱۸۹۷، اولین پارادکس نظریه مجموعهها توسط
سزار بورالی-فورتی منتشر شد. پارادکس او به پارادکس بورالی-فورتی(دقت کنید که بورالی-فورتی نام یک نفر است!) شهرت دارد. او نشان داد که در نظر گرفتن مجموعه همه اعداد اوردینال ما را به سوی تناقض سوق میدهد، و این در حالی بود که در نظریه مجموعههای آن زمان هیچ چیز مانع در نظر گرفتن چنین مجموعهای نمیشد. البته مقدار زیادی از اثرات این پارادکس دفع شد چرا که بورالی-فورتی مفهوم اعداد اوردینال را به اشتباه درک کرده بود!
البته این باور وجود دارد که
کانتور خود از وجود این پارادکس پیش تر در سال ۱۸۸۵ باخبر بود و در مورد آن در ۱۸۸۶ با هیلبرت مکاتبه داشتهاست.
سال ۱۸۹۷ سالی مهم برای کانتور بود چرا که درآن سال اولین کنگره جهانی ریاضیات در زوریخ برگذار میشد، و در آن کنفرانس، کارهای کانتور در اوج توجه بود و توسط بسیاری از ریاضیدانان همچون هارویتز و هادامارد مورد تحسین قرار گرفت.
در سال ۱۸۹۹
کانتور خود، دومین پارادکس را کشف کرد که از در نظر گرفتن مجموعه همه مجموعهها نشأت میگرفت. اگر M را به عنوان مجموعه همه مجموعهها در نظر بگیریم طبیعی است این سوال را مطح کنیم که عدد اصلی M چیست؟ وضوحاً عدد اصلی این مجموعه باید بزرگترین عدد اصلی موجود باشد یا به عبارتی عدد اصلی هر مجموعه دیگر باید از M کوچکتر یا مساوی باشد اما از طرفی بنابر قضیه کانتور، عدد اصلی مجموعه توانی M (مجموعه همه زیرمجموعههای M) اکیداً از عدد اصلی M بزرگتر است ولذا به تناقض برمیخوریم. این پاردکس به پارادکس کانتور شهرت دارد.
وجود این تناقضات نشان میداد مخالفتهایی که با کارهای کانتور تا آن زمان از سوی ریاضیدانانی چون
لئوپارد کرونکر
آخرین
میشد، تاحدی معقول است.پارادکس در بهار سال ۱۹۰۲ بهوسیله برتراند راسل ارائه شد که به پارادکس راسل معروف است. او این پاردکس را هنگامی که برروی برهان قضیه کانتور مطالعه میکرد بدست آورد.
در نظریه مجموعههای جرج کانتور محدودیتی برای تعریف مجموعهها و اعمال روی آنها وجود نداشت و همانطور که در گذشته ذکر شد، این فرض وجود داشت که برای هر خاصیت(گزاره نما) چون (P(x مجوعهای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در (P(x صدق میکنند. راسل از این ویژگی استفاده کرد و با در نظر گرفتن خاصیت «عضو خود نبودن» مجموعه {A عضو خود نباشد:R={A یعنی مجموعه همه مجموعههایی که عضوی از خود نیستند را تشکیل داد. او این سوال را مطرح ساخت که آیا R∈R؟

  • اگر ریه اصل موضوعی مجموعه ها چیست ؟ بنابر تعریف R، باید داشته باشیم ریه اصل موضوعی مجموعه ها چیست ؟ که تناقض است.
  • اگر ریه اصل موضوعی مجموعه ها چیست ؟ بنابر تعریف R باید داشته باشیم ریه اصل موضوعی مجموعه ها چیست ؟ که تناقض است.

پارادکس راسل مهمترین پارادکس نظریه طبیعی مجموعهها به شمار میرود. البته لازم به ذکر است که برخی معتقدند این پارادکس به صورت جداگانه توسط ارنست تسرملو نیز پیدا شدهاست.
راسل این پارادکس را طی نامهای با فرگه که در حال تکمیل مقاله خود در زمینه مبانی حساب بود، در میان گذاشت. به گفته فرگه، پارادکس راسل همه ریاضیات را از پایه خراب کرد.
از طرفی نظریه مجموعهها درحال تأثیر گذاری بروی سایر بخشهای ریاضیات بود.
لبگ در سال ۱۹۰۱ اندازه و در سال ۱۹۰۲ انتگرال لبگ را بهوسیله مفاهیم نظریه مجموعهها تعریف کرد. واقعیت این بود که آنالیز به نظریه مجموعههای جرج کانتور نیاز داشت و نمیتوانست خود را به مدل شهودگرایانه ریاضیات که اساس کار ریاضیدانانی چون کرونکر را تشکیل میداد محدود کند. در حقیقت در آن زمان نظریه مجموعهها به عنوان اساس ریاضیات در نظر رفته شده بود و همه مفاهیم ریاضی بر پایه مجموعه تعریف میشدند(که البته اکنون نیز چنین است).
به این ترتیب، ریاضیدانان سعی کردند با حفظ ویژگیهای اصلی مجموعهها، نظریه مجموعهها را به گونهای پایه ریزی کنند تا بدور از پارادکسها باشد. آنها به دنبال دستگاه اصل موضوعی و سازگار بودند تا بتواند اساس محکمی به عنوان مبانی ریاضیات باشد تا بتوان مفاهیم ریاضی را بر پایه آنها تعریف نمود.
راسل و
آلفرد نورث وایتهد در تلاش برای رفع مشکلات، نظریه گونهها را مطرح کردند که البته چندان رضایت بخش نبود.
در سال ۱۹۰۸،
ارنست تسرملو اولین تلاشها را برای ارائه اصول موضوع نظریه مجموعهها انجام داد و حاصل کار نظریه مجموعههای تسرملو بود. افکار او بهوسیله آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم مورد تصحیح قرار گرفت و به این ترتیب نظریه مجموعههای تسرملو-فرانکیل یا به اختصار ZF بوجود آمد. کمی بعد تسرملو اصل موضوعی با نام اصل موضوع انتخاب را به اصول موضوع خود اضافه کرد و از آن برای اثبات قضیه خوشترتیبی خود استفاده نمود. ZF را به همراه اصل موضوع انتخاب ZFC مینامند.
علت اینکه این اصل را به عنوان عضوی الحاقی به ZF اضافه میکنند این است که این استفاده از این اصل در زمان خود و حتی تا کنون مورد بحث است.
همزمان با
تسرملو و فرانکیل، ریاضیدانانی چون جان فون نیومن، کورت گورل و پل برنیز نیز بر روی تنظیم دستگاه اصل موضوعی برای نظریه مجموعهها کار میکردند. کارهای آنها موجب پیدایش نظریه مجموعههای فون نیومن-برنیز-گودل شد که در حقیقت با معرفی مفهوم جدیدی به نام کلاس به بررسی نظریه مجموعهها پرداختند.
البته علاوه بر اینها نظریههای دیگری نیز همچون
نظریه مجموعههای مورس-کِلِی و مبانی جدید نیز پای به عرضه ظهور گذاشتند.
اصول موضوع نظریه مجموعههای تسرملو-فراکیل(ZF-ZFC)

همانطور که ذکر شد در سال 1908، ارنست تسرملو یک دستگاهی از اصول موضوع را برای نظریه مجموعهها پایه گذاری کرد که با تصحیح کارهای او بهوسیله آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم، نظریه مجموعههای تسرملو-فرنکیل یا
ZF بوجود امد. کمی بعد تسرملو اصل موضوع جنجال برانگیزی به عنوان اصل موضوع انتخاب را به اصول موضوع ZF اضافه کرد و سیستم اصول موضوع ZFC را پدید آورد. بسیاری از ریاضیدانان به اصل موضوع انتخاب با دید تردید نگاه میکردند و بحثهای زیادی بر سر قرار دادن آن در میان اصول موضوع نظریه مجموعهها انجام شدهاست اما به هر حال تسرملو از این اصل برای اثبات قضیهای حیرت انگیز، یعنی قضیه خوشترتیبی استفاده کرد.
نکته مهمی که باید در ZFC یادآور شد این است که در آن همه اشیای مورد بحث مجموعه هستند و در حقیقت برای مقاصد ریاضی، نیاز به بررسی اشیایی دیگر بجر مجموعهها را نداریم.
ده اصل موضوع ZFC در این قسمت لیست شدهاست. البته تمامی آنها در اصل به زبان ریاضی بیان شدهاند و ما در اینجا تفسیر هر اصل را بیان میکنیم.

  • اصل موضوع گسترش: دو مجموعه با هم برابرند اگر و فقط اگر اعضایشان یکسان باشد.
  • اصل موضوع مجموعه تهی: مجموعهای وجود دارد که دارای هیچ عضوی نیست.
  • اصل موضوع تصریح: به ازای هر مجموعه A و گزاره نمای (P(x، زیرمجموعهای از A وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری از A است که در (P(x صدق میکنند.
  • اصل موضوع زوج سازی: اگر A و B دو مجموعه باشند، مجموعهای چون C شامل دو مجوعه A و B وجود دارد، یا به بیانی دیگر {A,B} نیز یک مجموعهاست.
  • اصل موضوع اجتماع: برای هر دسته دلخواه از مجموعهها، مجموعهای وجود دارد که شامل عناصری است که به حداقل یکی از مجموعههای دسته مفروض تعلق دارند.
  • اصل موضوع مجموعه توانی: اگر A یک مجموعه باشد، مجموعهای شامل همه زیرمجموعههای مجموعه A وجود دارد.
  • اصل موضوع ترتیب:هر مجموعه عضوی دارد که از آن مجموعه جدا است. یعنی هر مجموعه دارای عضوی است که اشتراکش با خود آن مجموعه تهی است.(برای مطالعه در مورد این اصل و ارتباط آن با مفهوم مجموعههای خوش بنیاد به صفحه مربوطه مراجعه کنید.)
  • اصل موضوع بینهایت: مجموعهای چون A وجود دارد که شامل مجموعه تهی است و اگر x∈A آنگاه xU{x}∈A.
  • اصل موضوع انتخابریه اصل موضوعی مجموعه ها چیست ؟این اصل صورتهای متفاوتی دارد که یکی از ساده ترین آنها در اینجا عنوان شده است)اگر S دستهای از مجموعههای دو به دو جدا از هم باشد، مجموعهای چون R وجود دارد که اشتراکش با هریک از اعضای S مجموعهای تک عضوی است.
  • اصل موضوع جایگزینی:اگر (S(x,y گزاره نمایی باشد که بهوسیله آن بتوان برای هر x∈A، مجموعه {(y:S(x,y} را تشکیل داد، آنگاه تابع F با دامنه A وجود دارد که {(F(x)={y:s(x,y برای هر x∈A.

از میان این اصول، اصل موضوع انتخاب و اصل موضوع ترتیب، حتی تا کنون مورد بحث هستند. از سایر نظریههای اصل موضوعی مجموعهها، میتوان نظریه مجموعههای فون نیومن-برنیز-گودل(NBGنظریه مجموعههای مورس-کِلِی، نظریه مجموعههای کریپک-پلاتک(KP) را نام برد. این نظریهها همگی به نوعی با ZFC رابطه دارند.
از نظریههای مستقل از نظریه ZFC میتوان
مبانی جدید و نظریه مجموعههای مطلق را نام برد.
سازگاری و عدم وابستگی در ZFC

حال که اصول موضوعی برای نظریه مجموعهها پایه گذاری شدهاست ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا این اصول دستگاه اصل موضوعی سازگاری را تشکیل میدهد؟

یک
دستگاه اصل موضوعی را سازگار میگوییم اگر در آن تناقض موجود نباشد. دستگاه اصل موضوعی ناسازگار که دارای تناقض باشد، قطعاً برای کار مناسب نخواهد بود چرا که از یک تناقض(گزاره همواره نادرست) هر نتیجهای قابل برداشت است!
چگونه میتوان مطمئن بود در دستگاه اصل موضوعی ارائه شده هیچ تناقضی رخ نمیدهد؟ تا کنون هیچ تناقضی کشف نشدهاست ولی از کجا میتوان فهمید هیچ تناقضی از نظر پنهان نمانده است؟
پاسخ این سوال متأسفانه این است که ما نمیتوانیم مطمئن باشیم! برای کنکاش در مورد علت این مطلب باید به دوران ریاضیدان بزرگ قرن بیستم دیوید هیلبرت بازگردیم. هیلبرت قصد داشت ثابت کند اصول موضوع نظریه مجموعهها سازگار است. اثبات این مطلب برای برخی از دستگاههای اصل موضوعی ساه است. در برخی از دستگاهها میتوان با یافتن دستگاهی که این اصول را ارضا کند نشان دهیم که این اصول سازگار هستند و قالباً همه در استفاده از الگویی متناهی توافق دارند ولی این کار در مورد نظریه مجموعهها امکان پذیر نمیباشد چرا که و جود اصل چون
اصل موضوع بینهایت مانع از در نظر گرفتن چنین الگویی میشود.
ایده هیلبرت این بود که میتوان از چیزی با قید کمتر هم استفاده کرد. وی آن چیز را یک فرایند تصمیمی خواند. این به اصطلاح یک برنامه کامپیوتری متناهی است که وقتی با فرمولی از نظریه مجموعهها تغذیه میشود فرایندی را به کار میبرد و تصمیم میگیرد که آن فرمول صادق است یا نه؟ اگر بتوان چنین برنامهای پیدا کرد موثر واقع خواهد شد.
اما
کورت گودل با اثبات دو قضیه همه امیدها را برباد داد. قضیه اول او نشان داد که در نظریه مجموعهها قضایایی وجود دارند بهوسیله اصول موضوع نظریه مجموعهها نه اثباتی برای آنها وجود دارد و نه تکذیبی. به عنوان مثال فرضیه پیوستار چنین وضعیتی را دارد. در زیر فهرست بیشتری از این مسائل را میبینید:
  • فرضیه پیوستار
  • فرضیه ساسلین
  • اصل الماس
  • اصول مارتین
  • فرضیه کورپا
  • اصل ساخت پذیری

همچنین برخی از اصول موضوع نظریه مجموعهها مانند اصل موضوع انتخاب، مستقل از سایر اصو موضوع هستند(برای مطالعه بیشتر در این زمینه به اصل موضوع انتخاب مراجعه کنید). این به این معنی است که وضعیتی شبیه اصل توازی اقلیدس دارند، میتوان آنها را درست و نادرست دانست و در هر حال دستگاهی سازگار از اصول موضوع را بدست میآوریم و بعلاوه بهوسیله سایر اصول موضوع نیز قابل استنتاج نیستند.
قضیه دوم گودل نشان داد اگر نظریه مجموعهها سازگار هم باشد، هیچ فرایند تصمیمی نظیر آنچه هیلبرت تصور میکرد وجود ندارد که سازگاری آن را اثبات کند.
اما آیا این به این معنی است که جستجو برای یک منطق دقیقتر در ریاضیات عبث است؟ اگر قرار باشد سرانجام کار کل مطلب در هوا معلق بماند به نظر تلاش برای تغییر آن به زحمتش نمیارزد. قطعاً این نتیجهای نیست که باید اتخاذ شود. بدون جستجو برای این دقت در ریاضیات قضایای گودل هم حاصل نمیشدند. این قضایا اجزای لاینفکی را از اصول موضوع نشان میدهند. آنها روش اصل موضوعی را باطل جلوه نمیدهند، برعکس روش اصل موضوعی چارچون مناسبی برای کل ریاضیات است، این قضایا نشان میدهند هیچ چیز بینقض نیست و همواره محدودیتهایی وجود خواهند داشت و ما فقط میتوانیم در جهت بهبود آنها تلاش کنیم.
نظریه مجموعهها(ZFC) به عنوان مبانی ریاضیات

همانطور که گفته شد با گسترش نظریه مجموعهها و بویژه اصل موضوعی شدن آن، این نظریه به عنوان اساس ریاضیات قرار گرفت و همه مفاهیم ریاضی چون
اعداد، نظریه ترتیب، رابطه، توابع و سایر مفاهیم یا مستقیماً بهوسیله مجموعهها تعریف شدند یا برپایه مفاهیم بدست آمده از آنها.
به عنوان نمونه میتوان به نحوه تعریف
زوج مرتب بهوسیله مجموعهها، ساختن اعداد طبیعی بهوسیله اصول اصول موضوع پیانو و نیز ساختن سایر اعداد از طریق آن را نام برد. سپس روابط بین دو مجموعه به عنوان مجموعههایی از زوجهای مرتب تعریف میشوند و ترتیب و تابع نوع خاصی از این روابط است.
به این ترتیب نظریه مجموعهها به زبان ریاضیات تبدیل شد که همه تعریف و مفاهیم به آنها باز میگردد.